(19)国家知识产权局 (12)发明 专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请 号 202210797330.2 (22)申请日 2022.07.06 (71)申请人 大连理工大 学 地址 116024 辽宁省大连市甘井 子区凌工 路2号 (72)发明人 雷娜　郑晓朋　罗钟铉　朱一鸣　 (74)专利代理 机构 北京圣州专利代理事务所 (普通合伙) 11818 专利代理师 刘岩 (51)Int.Cl. G06F 30/23(2020.01) G06T 17/20(2006.01) G06F 111/04(2020.01) (54)发明名称 基于雅可比定理计算曲面上亚纯m次微分除 子与结构化网格奇异点的方法 (57)摘要 本发明公开了基于雅可比定理计算曲面上 亚纯m次微分除子与结构化网格奇异点的方法， 首先构造给定曲面上的下同调群基底和全纯一 形式基底， 接着构造曲面上的周期矩阵和格子， 最后求解Abel ‑Jacobi方程得到亚纯微 分除子与 结构化网格 奇异点。 本发明的方法适用于任意拓 扑、 几何曲面的亚纯微分除子计算以及结构化网 格奇异点计算。 权利要求书3页 说明书8页 附图2页 CN 115081292 A 2022.09.20 CN 115081292 A 1.基于雅可比定理计算曲面上亚纯m次微分除子与结构化网格奇异点的方法， 其特征 在于， 所述方法包括： S1输入以三角形网格剖分为离 散化的曲面 Σ； S2计算曲面Σ上一组特殊的典范下同调群基底， {a1,b1,a2,b2,…,ag,bg}， 要求每一对 闭合路径(ai,bi)彼此只交于一 点， 即其代数相交数满足条件： 其中， 为Kronecker符号， 即当i＝j时 当i≠j时 ai·bj表示为闭合路径ai 和bj之间的代数相交数； g为曲面的亏格数； S3基于计算得到的下同调群基底{ai}和{bi}构造一组特殊的全纯1 ‑形式基底 满足约束： 其中， 为Kronecker符号， g为曲面的亏格数； S4对于下同调群基底中的每一个元素γ， 可以基于计算得到的全纯1 ‑形式基底 构造 一个g维复向量； 则进一步构造周期矩阵(A,B)； 接着， 曲面 Σ上的格子Λ可以被构造为： S5沿着计算得到的下 同调群基底{ai}和{bi}将曲面Σ切开， 得到拓扑圆盘 接着， 在 内部选择一个基点 则对于任 意结点p∈ Σ， 可以在拓扑圆盘 内选取一条连接p0 与p的路径 并定义雅可比映射 μ:Σ →J(Σ) 为: μ(p)＝Φ(p)modΛ,                  (6) 其中: 同理， 给定一个除子 选取一组从p0到pi的路径 则有： 雅可比条件表明， 如果除子D是一个主除子(Pri nciple Divisor)， 则 μ(D)＝0， 即：权　利　要　求　书 1/3 页 2 CN 115081292 A 2通过展开， 得到公式： 其中， sk和tk为整数， 基点p0可以任意选取并保持等式成立； S6结构化 n边形网格等 价于曲面上一个具有闭合轨 迹的亚纯m次微分， 其中 同 时， 结构化 n边形网格的奇异点对应于亚纯m次微分的除子； S7给定曲面Σ上的初始除子(奇异点)D0， 则基于雅可比条件计算亚纯m次微分除子(结 构化n边形网格奇异点)。 2.根据权利要求1所述的基于雅可比定理计算曲面上亚纯m次微分除子与结构化网格 奇异点的方法， 其特 征在于， 所述 步骤S7的流 程如下： S7.1若初始除子D0不满足Gauss ‑Bonnet条件， 即deg(D0)≠8g‑8， 则添加额外的极点 (pole)和零点(zero)使得新的除子 满足deg(D)＝8g ‑8； S7.2基于计算得到的全纯1 ‑形式 依据公式 线性组合出一个任意的全纯1 ‑形式 S7.3为了使得除子D在雅可比映射下， 在Jacobian簇中 则将雅可比映 射的平方范数定义为一个能量， 即 因此， 优化除子D的过程就是最小化 能量E的过程； 依据公式8， 等价于 模掉格子Λ， 其中， 格子Λ上的 格点可以通过g个整数对{(sk,tk),k＝1,…,g}得到， 则最小化能量E的过程包括： 计算约束 在雅可比条件(公式8)下的整数系数sk和tk， k＝1,…,g， 通过最小化平方 范数： 当(sk,tk)的范数趋于无穷时， 能量E也趋于无穷， 因此可以在紧致集 中寻找 解， 其中整数格点 的数量是有限的， 则使得能量最小的 总是存在， 所 以在紧致集Ω中枚举整数格点可以找到最优解； 还包括当整数格点 被确定， 调 整极点和零 点的位置通过最小化平方 范数： 其中， 除子pi的位置作为变量， 它们可能是网格上的结点， 或者是面片内部的点。 若除子 pi的阶数为vp， 则pi可以视为|vp|个不同变量并独立移动， 因此， 优化的过程中除子可能发 生分裂、 合并和抵消；权　利　要　求　书 2/3 页 3 CN 115081292 A 3